|
الملخص
اختيار المحفظة الاستثماريةportfolio هو من النماذج الأساسية المستخدمة في الأسواق المالية الحديثة والمتضمنة نسبة كبيرة من المخاطرة. وقد كُتب في مجال تحليل المحافظ الاستثمارية العديد من المؤلفات ولكن تطبيق البرمجة التربيعية Quadratic Programming (QP) ، التي هي من مسائل المثلويات غير الخطية Non-Linear Optimization Problem ، لايجاد الإختيار الأمثل للمحافظ الاستثمارية هو من التطبيقات الهامة والواقعية والممتعة التي كتبت في هذا المجال.
لقد قمنا في هذا البحث بعرض المسألة كبرنامج تربيعي ثم ايجاد البدائل المختلفة لهذه الصيغة وذلك حسب رغبة المستثمر وقدرته على المخاطرة كما قمنا بتطبيـق المسألة حاسوبياً باستخدام Excel Spreadsheets على البيانات التاريخية الفعلية لثلاث شركات عالمية, شركة IBM و Walmart و Southern Electric.
الكلمات المفتاحية: البرمجة التربيعية, المحفظة الاستثمارية المثلى، مسائل المثلويات، العائد والمخاطرة .
مقدمة:
يمكن تعريف نموذج المحفظة الاستثمارية على الشكل التالي، لدى مستثمر مبلغ معين من المال ويريد استثماره في مجموعات مختلفة من وسائل الاستثمار المتاحة مثل الأسهم، السندات، السلع،.. إلخ وذلك لفترة زمنية معينة. إن هدف المستثمر بالطبع اختيار وسيلة الاستثمار ( أو وسائل الاستثمار أي المحفظة الاستثمارية) التي تحقق أكبر عائد ممكن وفي الوقت نفسه أقل نسبة من المخاطرة برأس المال أي تحقيق هدفين متناقضين، ونجد في الواقع وعلى الأغلب أن المحافظ الاستثمارية ذات العوائد الأكبر هي التي تحمل نسبة أكبر من المخاطرة أي العائد على الاستثمار يتناسب طرداً مع درجة المخاطرة التي يحملها هذا الاستثمار. إذاً على المستثمر تحديد نسبة المبالغ التي سيستثمرها في كل نوع من وسائل الاستثمار بحيث يحقق هذين الهدفين المتناقضين.
هدف البحث وأهميته:
إن هدف البحث مساعدة المستثمر على الاختيار الأمثل لمحفظتـه الاستثمارية في عصر الاقتصاد المالي الحديث ويكون ذلك بتحويل المشكلة إلى مسألة بسيطة جداً عن طريق صياغتها كمسألة برمجة تربيعيـه التي هي من مساثل المثلويات ومن ثم تطوير نموذج يعطي حلولاً مثلوية أفضل وتطبيق هذه النماذج حاسوبياً على أحد برامج شركة Microsoft المتوفر لدى الجميع برنامج الـ excel وهو برنامج مرن وسهل الاستخدام مقارنة مع برامج المثلويات الأخرى مثلاً برنامج LINDO[1] for Windowsوهو برنامج عالمي مستخدم بكثرة فضلاً عن برنامج الـ excel. وأهمية البحث تأتي من ناحيته التطبيقية في الواقع العملي وخاصة تطبيقاته في أسواق المال الحديثة أي البورصة فباستخدام هذه الطرق الرياضية يتم تقديم أعلى مستوى من الخدمة للمستثمر بمساعدته في اتخاذ القرار الأمثل لعمليته الاستثمارية في ظل المنافسة الحرة سواء المحلية أو العالمية.
تطبيق واقعي: يراد استثمار مبلغ 1000$ في شراء أسهم ثلاث شركات IBM(IBM) و Walmart(WMT) و Southern Electric (SEHI) لفترة زمنية معينة ولتكن شهر.
الجدول (1) يبين البيانات التاريخية لسعر السهم في كل شركة في نهاية كل شهر (closing Prices) اعتباراً من شهر ت1/2000 حتى ت2/2001 .
والجدول (2) يبين العائد الشهري لكل شركة (i=1,2,3) iخلال الفترة المدروسة.
|
|
Returnالعائد
|
|
|
|
IBM
|
WMT
|
SEHI
|
|
Nov-00
|
-0.051
|
0.150
|
-0.346
|
|
Dec-00
|
-0.091
|
0.018
|
-0.113
|
|
Jan-01
|
0.318
|
0.069
|
0.064
|
|
Feb-01
|
-0.108
|
-0.118
|
-0.060
|
|
Mar-01
|
-0.037
|
0.008
|
0.532
|
|
Apr-01
|
0.197
|
0.025
|
0.181
|
|
May-01
|
-0.029
|
0.000
|
0.494
|
|
Jun-01
|
0.015
|
-0.057
|
-0.059
|
|
Jul-01
|
-0.073
|
0.145
|
0.305
|
|
Aug-01
|
-0.050
|
-0.140
|
-0.045
|
|
Sep-01
|
-0.082
|
0.030
|
-0.362
|
|
Oct-01
|
0.178
|
0.038
|
-0.079
|
|
Nov-01
|
0.070
|
0.073
|
0.029
|
|
|
الجدول (2)
|
|
ويقصد بالعائد مايلي: بفرض أن مبلغاً وقدره Di وحدة نقدية تم استثماره في أحد الأصول i وبعد مرور فترة زمنية معينة أصبح المبلغ 1.3Di فيكون العائد في نهاية هذه الفترة 0.3.
|
|
Closing Prices
|
|
|
|
IBM
|
WMT
|
SEHI
|
|
Oct-00
|
98.5
|
45.4
|
1.62
|
|
|
Nov-00
|
93.5
|
52.2
|
1.06
|
|
|
Dec-00
|
85
|
53.1
|
0.94
|
|
|
Jan-01
|
112
|
56.8
|
1
|
|
|
Feb-01
|
99.9
|
50.1
|
0.94
|
|
|
Mar-01
|
96.18
|
50.5
|
1.44
|
|
|
Apr-01
|
115.1
|
51.7
|
1.7
|
|
|
May-01
|
111.8
|
51.8
|
2.54
|
|
|
Jun-01
|
113.5
|
48.8
|
2.39
|
|
|
Jul-01
|
105.2
|
55.9
|
3.12
|
|
|
Aug-01
|
99.95
|
48.1
|
2.98
|
|
|
Sep-01
|
91.72
|
49.5
|
1.9
|
|
|
Oct-01
|
108.1
|
51.4
|
1.75
|
|
|
Nov-01
|
115.6
|
55.2
|
1.8
|
|
|
|
الجدول (1)
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
الهدف هو تحديد نسب التوزيع الأمثل للمبلغ المذكور على وسائل الاستثمار بحيث يكون عنصر المخاطرة أقل مايمكن ( المخاطرة في عدم تحقيق هذا العائد ). مع العلم أن هذا الشخص يريد أن يحقق عائداً بمقدار 5% على الأقل من هذه العملية الاستثمارية وأن لايتجاوز الجزء المخصص للاستثمار في كل شركة من الشركات عن 75% من رأس المال.
صياغة نموذج المحفظة الاستثمارية:
لتكن لدينا متغيرات القرار التالية
الجزء المستثمر من رأس المال في أسهم شركة IBM.
الجزء المستثمر من رأس المال في أسهم شركة WMT.
الجزء المستثمر من رأس المال في أسهم شركة SEHI.
بفرض
1- إمكانية شراء المستثمر أية كمية من الأسهم.
2- عدم السماح بالبيع على المكشوف short sale .
3- عدم وجود مصاريف عمولة.
تصاغ الشروط المفروضة على المسألة كالتالي
- شرط استثمار المبلغ بأكمله
- شرط العائد
حيث تدل على وسطي سعر السهم للشركة i خلال الفترة المدروسة.
- شروط عدم السلبية و شروط النسبة المستثمرة في كل شركة
أما بالنسبة لصياغة تابع الهدف وهو جعل عنصر المخاطرة أصغر مايمكن، فالسؤال المطروح كيف يمكن قياس المخاطرة كمياً؟.
لقد قام Markowitz مؤسس النظرية الحديثة لإدارة المحافظ الاستثمارية، بصياغته الكلاسيكية (Markowitz,1952) بقياس عنصر المخاطرة بمقدار التباين في عائد المحفظة الاستثمارية. وذلك على الشكل التالي:
حيث هو تمام التباين covariance لعائد الشركة i مع الشركة j . والهدف هو جعل التباين أصغر مايمكن.
وباستخدام المصفوفات والأشعة يمكن كتابة تابع الهدف كما يلي:
حيث تمثل Q مصفوفة تمام التباين للتطبيق المدروس أبعادها 3×3 :
|
ساحة النقاش