مذكرة الاحصاء للثانوية العامة

الأحتمال

*التجربة العشوائية

تعريف التجربة العشوائية

التجربة العشوائية هي كل تجربة نستطيع أن نحدد مقدما (أي قبل إجرائها) جميع النواتج الممكنة الحدوث ،ولكن لا يمكن تحديد أي من هذه النواتج سيتحقق فعلاً عند اجراء هذه التجربة

تعريف : فضاء ( فراغ ) العينة أو فضاء النواتج (ف)

هو مجموع جميع النواتج الممكنة الحدوث لتجربة عشوائية.

تعريف الحدث

هو أى مجموعة جزئية من فضاء العينة.

*أنواع الأحداث

1) الحدث المؤكد: هو الحدث الذى لابد أن يقع ويرمز له

بالرمز (ف).

2) الحدث المستحيل: هو الحدث الذى لا يمكن أن يقع ويرمز له

بالرمز (f).

3) الحدث الأولى (البسيط): هو الحدث الذى تتألف المجموعه التى تمثله من عنصر واحد من عناصر فضاء العينة.

4) الحدثان المتنافيان : هما الحدثان اللذان يستحال و قوعهما معاً و وقوع أحدهما يمنع وقوع الآخر .

تعريف

1) إذا كان أ، ب حدثين جزئيين من ف فإن أ، ب حدثان

متنافيان إذا كان أ Ç ب =f .

2) يقال لعدة أحداث أنها متنافية إذا وإذا فقط كانت

متنافية مثنى مثنى.

ملحوظة

يقال أن حدث ما قد وقع إذا كان ناتج التجربة

العشوائية عنصراً من عناصر المجموعة التي تعبر عن هذا الحدث .

* العمليات على الأحداث

1) الاتحاد (U = أو)

فى الشكل المقابل: الجزء المظلل يمثل أ ب

أ ب يعنى وقوع أحد الحدثين على الأقل.

2) التقاطع (Ç = و)

فى الشكل المقابل: الجزء المظلل يمثل أ Ç ب

أ Ç ب يعنى وقوع الحدثين معاً.

3) الفرق (-)

فى الشكل المقابل: الجزء المظلل يمثل أ- ب يعنى وقوع الحدث أ فقط، وكذلك يعنى وقوع الحدث أ وعدم وقوع الحدث ب.

4) الحدث المكمل

فى الشكل المقابل : الجزء المظلل يمثل المجموعه أ/ ويسمى بالحدث المكمل للحدث أ ، وكذلك يعنى عدم وقوع الحدث أ

أ/= ف - أ

مثال (1)

فى تجربة القاء قطعتى عملة متمايزتين مرة واحدة وملاحظة الوجهين الظاهرين. اكتب فضاء العينة لهذه التجربة وعين الأحداث الآتية:

أ = ظهور كتابة واحدة على الأقل.

ب= ظهور كتابة واحدة على الأكثر.

ج= ظهور صوره واحدة بالضبط.

د= ظهور صورتين على الأكثر.

هـ= عدم ظهور كتابات.

و= ظهور صورتين على الأقل.

الحل

ف = }(ص، ص)، (ص، ك)، (ك، ص)، (ك، ك){

أ = }(ص، ك)، (ك، ص)، (ك، ك) {

ب =} (ص، ك)، (ك، ص)، (ص، ص) {

ج =}(ص، ك)، (ك، ص) {

د = ف

هـ =}(ص،ص) {

و =}(ص،ص) {

مثال 2

فى تجربة إلقاء حجر نرد مرتين متتاليتين وملاحظة الوجه العلوى، عين الأحداث الآتية:

أ = مجموع الوجهين العلويين أكبر من 11

ب = مجموع الوجهين العلويين أقل من 5

ج = مجموع الوجهين العلويين يقبل القسمة على 4

د = الفرق المطلق بين الوجهين العلويين 3

هـ = الحصول على عدد أولى فى أحد الرميتين على الأقل.

و = الحصول على عدد أولى مرة واحدة فقط.

الحل

ف =}(س،ص):س = 1، 2، 3، 4، 5، 6 ، ص = }1 ،2

3، 4، 5، 6{

أ = } (6،6) {

ب = }(1،1) ، (2،1) ، (3،1) ، (1،3) ، (1،2) ، (2،2) }

ج = } (1،3) ، (2،2) ، (6،2) ، (3،1) ، (3،5) ،(4،4) ، (5،3) ، (2،6) ، (6،6) }

د = } (1،4) ، (2،5) ،(3،6) (4،1) ، (5،2) ، (6،3) }

هـ = } (2،1) ،(2،2) ،(2،3) ،(2،4) ،(2،5) ،(2،6) ،(3،1) ،(3،2) ،(3،3) ،(1،2) ،(1،3) ،(1،5) ،(4،2) ،(4،3) ،(4،5) ،(3، 6)،(6،2) ،(6،5) ، (3،4) ،(3،5) ،(3،6) ،(5،1)،(5،2) ،(5،3) ،(5،4) ،(5،5) ،(5،6)}

و = }(2،1) ،(2،4) ،(2،6) ،(3،1)، (3،6) ،(5،1) ،(5،4) ،(5،6) ،(1،2)، (4،2)،(6،2)، (4،3) (1،3)، (4،3)، (6،3)، (1،5)، (4،5)، (6،5){

* مسلمات وقواعد الاحتمال

1) لكل حدث أ כ ف يوجد عدد حقيقى يسمى احتمال الحدث أ و يرمز له

بالرمز ل( أ )

2) ل (ف) = 1 أى أن احتمال الحدث المؤكد = 1

3) ل(f) = صفر أى أن احتمال الحدث المستحيل = صفراً

4) ل(أ U ب) = ل(وقوع أحد الحدثين على الأقل)

= ل(أ) + ل(ب) - ل(أ Ç ب) حيث أ ، ب حدثين من فضاء العينة .

5) وإذا كان أ، ب حدثين متنافيين فإن:

ل( أ U ب) = ل(أ) + ل(ب)

6) ل(أ/) = 1 - ل(أ)

7) ل(أ Ç ب/) = ل(أ) - ل(أ Ç ب)

8) ل(أ- ب) = ل (أ فقط) = ل(أ) - ل(أ Ç ب)

9) ل(أU ب/)=ل(ب Ç أ/)/=1-ل(ب Ç أ/)=1+ ل(أÇ ب)- ل(ب)

10) إذا كان ف = }أ1، أ2، أ3، …..،أن{

حيث أ1، أ2، أ3، …..،أن أحداث بسيطة متنافية فإن:

ل(أ1) + ل(أ2) +……+ل(أن) = 1

وإذا كان أ1، أ2،……، أن متساوية الاحتمال فإن:

ل(أ1) = ل(أ2) = …… = ل(أن) =

11) ل(أ/ Ç ب/)= 1 - ل(أ U ب)

12) ل(أ/ U ب/) = 1 - ل(أ Ç ب)

13) ل(وقوع أحد الحدثين على الأكثر…) = 1 - ل(أ Ç ب)

14) إذا كان ن(أ) = م، ن(ف) = ن فإن ل(أ) =

15) ل(أ فقط أو ب فقط) = ل(أ U ب)- ل( أ Ç ب)

=ل( أحدالحدثين دون الآخر)

حساب الاحتمال

مثال 3

إذا كان أ،ب حدثين من فضاء العينة لتجربة عشوائية وكان ل(أ) = ،

ل(أ Ç ب) = ، ل(أ U ب)=

أوجد:

1) ل(أ Ç ب-) 2 ) ل(ب-)

الحل

1) ل(أ Ç ب-) = ل(أ) - ل(أ Ç ب)

2) ل(أ U ب) = ل(أ) + ل(ب) - ل(أ Ç ب)

ل(ب) =

ل (ت) = 1-ل (ب)

= 1 -

مثال 4

إذا كان أ، ب حدثين متنافيين من فضاء العينة فى تجربة عشوائية ،وكان ل(أ) = 0.26، ل(ب) = 0.33 أوجد:

1) ل(أ/ Ç ب/) 2) ل( Ç ب-)

3) ل(أ Ç ب/)

الحل

الحدثان متنافيان ل(أ Ç ب) = صفر

ل( أ U ب) = 0.26 + 0.33 = 0.59

1) ل(أ U ب/) = 1 - ل(أ Ç ب) = 1 - صفر = 1

2) ل(أ/ Ç ب/) = 1- ل(أ U ب) = 1 - 0.59 = 0.41

3) ل(أ Ç ب/) = ل(أ) - ل(أ Ç ب) = 0.26 - صفر

= 0.26

مثال 5

إذا كان ل(أ) = ل(أ/) ، ل(ب) =

ل(أ Ç ب/) = أوجد كلاً من:

1) ل(أ) 2) ل(أ U ب)

الحل

ل(أ/) = 1 - ل(أ) ل(أ) = 1 - ل(أ/)

ل(أ) = ل(أ/)

2ل(أ) = 1

ل(أ) =

ل(أ Ç ب-) = ل(أ) - ل(أ Ç ب)

- ل (أ ب)

ل(أ Ç ب) =

ل(أ U ب) = ل(أ) + ل(ب) - ل(أ Ç ب)

ل(أ U ب) =

مثال 6

سحبت بطاقة واحدة عشوائياً من بين 40 بطاقة مرقمة من 1إلى 40 أوجد احتمال أن البطاقة المسحوبة تحمل رقماً فردياً:

أولاً: يقبل القسمة على 5

ثانياً: يقبل القسمة على 7

ثالثاً: يقبل القسمة على 5 أو 7

الحل

ن (ف) = 40

أولاً: أ = }5، 15، 25، 35{

ل(أ) =

ثانياً: ب =}7، 21، 35{

ل(ب) =

ج = أ U ب = }5، 15، 25، 35، 7، 21{

ل(ج) =

مثال 7

من مجموعة أرقام العدد 3210، كون عددا مكونا من رقمين مختلفين، وأحسب احتمال أن يكون الحدث عدداً زوجياً أو رقم العشرات فردى.

الحل

ف = }10، 20، 30، 21، 31، 12، 32، 13، 23{

أ = }10، 20، 30، 12، 32{ (العدد الزوجى)

ب = }10، 30، 31، 12، 32، 13}(رقم العشرات فردى)

أ U ب = }10، 13، 30، 12، 32، 20، 31{

ل (أ U ب) =

مثال 8

ألقى حجر نرد منتظم مرتين متتاليتين ولوحظ العدد على الوجه العلوى فى كل مرة. اوجد احتمال:

1-أن يكون مجموع العددين أكثر من أو يساوى 10

2-أن يكون أحد العددين 4 والمجموع أقل من 9

3-أن يكون مجموع العددين زوجيا.

الحل

ف = }(1،1)، (2،1)،……، (6،6) {،ن (ف) = 36

1) نفرض أن أ هو حدث أن يكون مجموع العددين أكبر من أو يساوي 10

أ =}(6،4)،(4،6)،(5،5)،(6،5)،(5،6)،(6،6) {

ل(أ) = =

2) نفرض أن ب هو حدث أحد العددين 4 والمجموع أقل من 9

ب =}(1،4)،(2،4)،(3،4)،(4،4)،(4،1)،(4،2)،(4،3) {

ل(ب) =

3) نفرض أن جـ هو حدث أن يكون مجموع العددين زوجيا.

ل(جـ) =

مثال 9

حقيبة بها 35 بطاقة مرقمة من 1 إلى 35 سحبت بطاقة واحدة عشوائياً من الحقيبة، احسب احتمال أن يكون العدد المكتوب على البطاقة المسحوبة:

1) فردياً.

2) زوجيا،ً أو يقبل القسمة على 3

الحل

ن (ف) = 35

1) أ = }1، 3، 5، 7، 9، 11، 13، 15، 17، 19، 21، 23، 25، 27، 29، 31، 33، 35{

ل(أ) =

2) ب =} 2، 4، 6، 8، 10، 12، 14، 16، 18، 20، 22 ،24، 26، 28، 30، 32، 34، 3، 9، 15، 21، 27، 33{

ل(ب) =

مثال 10

3 أشخاص س، ص، ع يتنافسون فى سباق، فإذا كان احتمال فوز ص = ضعف احتمال فوز س،و احتمال فوز ع ثلاثة أمثال احتمال فوز س. وأن شخصاً واحداً سيفوز فى السباق، اوجد:

1) احتمال فوز س

2) احتمال فوز س أو ع

3) احتمال عدم فوز ع

الحل

نفرض احتمال فوز س = أ، احتمال فوز ص = 2أ، احتمال فوز ع = 3أ

أ + 2أ + 3أ =1 6أ = 1 أ =

ل(س) = أ =

2) ل(س U ع) = ل(س) + ل(ع) = أ + 3أ = 4أ =

3) ل(ع/) = 1 - ل(ع)

ل(ع/)= 1- 3أ = 1 -=

المتغيرات العشوائية

* تعريف: المتغير العشوائى

إذا كان ف فضاء عينة لتجربة عشوائية ، ح مجموعة الأعداد الحقيقية فإن أي دالة س:ف ¬ ح تسمى متغيراً عشوائياً معرفاً على ف.

مدى المتغير العشوائي

هو مجموعة قيم نواتج ف بواسطة س وهي مجموعة جزئية من ح

*أنواع المتغير العشوائى

1) متقطع (وثاب): مداه مجموعة محدودة أو قابلة للحصر من الأعداد الحقيقية

2) متصل: مداه فترة من الأعداد الحقيقية غير قابلة للحصر( فترة مغلقة أو مفتوحة )

التوزيعات الاحتمالية

* التوزيع الاحتمالي المتقطع

إذا كان س متغيراً عشوائياً مداه المجموعة={س1، س2،……، سن} فإن الدالة د حيث

د(سر)= ل(س = سر) لكل ر = 1 ،2 ،..... ،ن تحدد ما يسمى بالتوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي المتقطع س والذي يعبر عنه بمجموعة الأزواج المرتبة المحددة لبيان الدالة د

ويمكن كتابة التوزيع الاحتمالى على الصورة

مع ملاحظة أن

1) سر صفر. لجميع قيم ر = 1، 2، …..، ن

* التوزيعات الاحتمالية المتصلة

إذا كان س متغيراً عشوائياً متصلاً مداه فترة مفتوحة أو مغلقة فإننا فى هذه الحالة نهتم بحساب احتمال أن يقع المتغير العشوائي المتصل في فترة جزئية من مداه كان يقع في الفترة المغلقة ]أ ، ب [ . و الاحتمال المطلوب

مساحة المنطقة الواقعة تحت منحنى هذه الدالة و فوق محور السينات في الفترة من أ إلى ب .

* تعريف دالة كثافة الاحتمال

إذا كان س متغيراً عشوائياً متصلاً فإن الدالة الحقيقية د تسمى بدالة كثافة المتغير العشوائي س إذا كان مساحة المنطقة الواقعة تحت منحنى الدالة وفوق محور السينات في الفترة من أ إلى ب (المنطقة المظللة) وذلك لكل عددين حقيقيين أ ، ب حيث أب

ملاحظات

1) منحنى الدالة يقع بكامله أعلى محور السينات

2) المساحة تحت المنحنى وفوق محور السينات بين س =أ، س = ب هى الواحد الصحيح.

ولإيجاد فإننا نحسب المساحة فوق محور السينات

وتحت منحنى الدالة بين س = جـ، س = د

تذكر أن

1) مساحة المثلث = (القاعدة × الارتفاع) ÷ 2

2) مساحة المستطيل = حاصل ضرب بعديه

3) مساحة شبه المنحرف = مجموع القاعدتين المتوازيتين × الارتفاع

الوسط الحسابي (التوقع) - التباين-

الانحراف المعياري للمتغير العشوائي

* قوانين هامة

اذا كان س متغيراً عشوائيَّ متقطعاً يأخذ القيم س1،س2،......سن باحتمالات د(س1)،د(س2)،....د(سن) على الترتيب فإن

1) التوقع (الوسط الحسابى) = m

2) التباين = s2

3) الانحراف المعيارى = s

4) معامل الاختلاف =

ولإيجاد m ، s ،….. نكون جدول من خمسة أعمدة وهى سر، د(سر)، سر . د(سر)، سر2، سر2 .د(سر)

معامل الاختلاف

4) معامل الاختلاف =

ولإيجاد m ، s ،….. نكون جدول من خمسة أعمدة وهى سر، د(سر)، سر . د(سر)، سر2، سر2 .د(سر)

تمارين متنوعة

مثال 1

إذا كان س متغيراً عشوائياًّ متصلاً، و دالة كثافة الاحتمال له هى:

1- أثبت أن د(سر) دالة كثافة الاحتمال للمتغير العشوائى س

2- أوجد ل(س > 2).

الحل

د(1) = . د(5) =

د(2) =

المساحة الكلية = ( +) × 4 = 1

المنحنى يقع بكامله أعلى محور السينات

د(س) دالة الكثافة للمتغير العشوائى س

ل (س > 2) =

مثال 2

إذا كان س متغيراً عشوائياًّ متقطعاً توزيعه الاحتمالى يحدد بالدالة د( س) =

حيث: س = -1، 1، 3، 6 أوجد:

1- قيمة ك.

2- التوزيع الاحتمالى.

3- الوسط الحسابى والانحراف المعيارى ومعامل الاختلاف.

الحل

د(-1) = (ك -1) ÷ 17

د(1) = (ك + 1) ÷ 17

د(3) = (ك +3)÷ 17

د(6) = (ك + 6) ÷17

(ك -1 + ك + 1 + ك + 3 + ك + 6) ÷ 17 = 1

(4ك + 9) ÷ 17 = 1

ك = 2

التوزيع الاحتمالى

معامل الاختلاف =( × 100)= (2.28 ÷) ×100 =59.963%

مثال 3

إذا كان س متغيراً عشوائياًّ متصلاً دالة كثافة الاحتمال له هى:

أوجد:

1- قيمة أ

ب- ل( 1< س < 2)

الحل

د(صفر) = صفر

د(4) = 4أ

المساحة الكلية = (4 × 4أ) ÷ 2 = 1

8أ = 1

أ =

د(1) = أ

د(2) = 2أ

ل( 1 > س > 2) =

مثال 4

فى تجربة إلقاء قطعة عملة معدنية 3 مرات وملاحظة الوجه الظاهر، إذا كان المتغير العشوائى يعبر عن "عدد الصور" أوجد:

1- مدى المتغير العشوائى.

2- التوزيع الاحتمالى.

الحل

ف = } (ص،ص،ص)، (ك،ك،ك)، (ص،ص،ك)، (ك،ص،ص)، (ص،ك،ص)، (ك،ك،ص)، (ك،ص،ك)، (ص،ك،ك) {.

المدى = }صفر، 1، 2، 3 {.

التوزيع الاحتمالى

مثال (5)

إذا كان س متغيراً عشوائياًّ متقطعاً توزيعه الاحتمالى معرفا كالآتى:

إذا كان m = 2.6 أوجد قيمة كلاً من أ، ب

الحل

أ + ب = 1 (1)

2.6 = 2أ + 3 ب (2)

من (1) ب = 1 - أ (3)وبالتعويض من (3) فى(2)

2.6 = 2أ + 3(1 - أ).

2.6 = 3 - أ

أ = 0.4 بالتعويض فى (3) ب = 0.6.

مثال 6

صندوقان بكل منهما ثلاث كرات مرقمة من 1 إلى 3، سحبت كرة عشوائياًّ من كل صندوق ، وعرف المتغير العشوائى بأنه حاصل ضرب العددين الموجودين على الكرتين المسحوبتين. أوجد التوزيع الاحتمالى والتوقع للمتغير العشوائى.

الحل

ف = } (1،1)، (2،1)، (3،1)، (1،2)، (2،2)،(3،2)، (1،3)، (2،3)، (3،3) {.

المدى = }(1، 2، 3، 4، 6، 9) {.

التوزيع الاحتمالى

مثال 7

إذا كان معامل الاختلاف لمتغير ما = 8% وكان الوسط الحسابى له يساوى 75فأوجد انحرافه المعيارى وكذلك تباينه.

الحل

معامل الاختلاف = ( × 100)%

8 =( × 100)%

100 s = 600

s = 6 التباين s2 = 36

مثال 8

متغير عشوائى وسطه الحسابى 125، تباينه 25. أوجد معامل الاختلاف.

الحل

معامل الاختلاف =( × 100)% =(× 100)% = 4 %

مثال 9

إذا كان س متغيراً عشوائياًّ متقطعاً مداه = }1، 2، 3، 4{ وكان ل( س= 1) = 0.3،

ل(س = 3) = 0.4 ، ل(س = 4) = 0.1

أوجد التوزيع الاحتمالى ثم أحسب الوسط الحسابى والتباين والانحراف المعيارى.

الحل

0.3 + ل(س = 2) + 0.4 + 0.1 = 1

ل(س = 2) = 0.2

= 2.3

= (1)2 × 0.3 + (2)2 × 0.2 + (3)2 × 0.4 +(4)2 × 0.1 - (2.3)2

= 6.3 - 5.29 = 1.01.

الانحراف المعيارى =( × 100)%

= ( × 100)% = 43.7%

مثال 10

إذا كان س متغيراً عشوائياًّ متصلا دالة كثافة الاحتمال له هى:

أوجد ل (1 < س < 3)

الحل

د(1) =

د (3) =

= ل(1 > س > 3) =

المتغير العشوائى الطبيعى

هو متغير عشوائى متصل مداه = ح ودالة كثافة احتماله تمثل بالمنحنى الطبيعى (منحنى الجرس أو منحنى كارل جاوس).

خواص المنحنى الطبيعى

* خواص المنحنى الطبيعى

1- المنحنى متماثل حول المستقيم س = m

2- له قمة واحدة عند س = m

3- طرفا المنحنى يقتربان شيئاً فشيئاً من محور السينات دون أن يقطعاه

4- المساحة الواقعة تحت المنحنى الطبيعى وفوق محور السينات تساوى الواحد الصحيح ،(كل جهة من m = 0.5) محور التماثل يقسم المنطقة الواقعة تحت المنحنى وفوق محور السينات إلى قسمين متساويين فى المساحة.

* ملاحظات

أ- 68.26% من المساحة فوق الفتره

[ m - ، m + s].

ب - 95.44% من المساحة فوق الفترة

[ m - 2، m +2 s].

ج- 99.74% من المساحة فوق الفترة

[ m - 3، m +3 s]

حساب الاحتمالات للمتغير الطبيعي المعياري(القياسي)

* المتغير الطبيعى المعيارى (القياسى): (ص)

هو متغير طبيعى فيه m = صفر ، s = 1

* حساب الاحتمالات للمتغير الطبيعى المعيارى القياسى (ص)

لايجاد نوجد المساحة تحت المنحنى وفوق محور السينات بين س = أ، س = ب مع ملاحظة أن:

1- مساحة المنطقة تحت المنحنى الطبيعى المعيارى وفوق محور السينات تساوى دائماً الواحد الصحيح.

2- قراءات الجدول تبدأ من الصفر.

3- المنحنى متماثل حول المستقيم س = صفر ( محور الصادات ).

والمساحة لكل ص . = المساحة لكل ص . = 0.5.

* تمارين متنوعة

المجموعة الأولى

إذا كان ص متغيراً عشوائياًّ طبيعيا معياريا فأوجد:

1) ل(ص 2)

2) ل(ص -2)

3) ل(ص <1.37)

4) ل(-2.75 < ص < 1.64)

5) ل(-2.17 < ص < -1)

6) ل(-2.34 ص 1.64)

حل المجموعة الأولى

1) ل(ص 2)

= 0.5 - 0.4772

= 0.0228

2) ل(ص -2)

= 0.5 - ل (-2 > ص > صفر)

= 0.5 - 0.4772 = 0.0228

3) ل( ص> 1.37)

= 0.5 + 0.4147 = 0.9147

file:///C:/DOCUME~1/MJAAFA~1/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip

عبدالجليل الامام

Currently 0/5 Stars.
1 2 3 4 5

0 تصويتات / 2696 مشاهدة

نشرت فى 7 نوفمبر 2011 بواسطة apdo777

احفظ

ساحة النقاش

شارك فى النقاش...

عبدالجليل الامام

((أحب لاخيك ما تحبه لنفسك)) »

منتدى عبدالجليل الامام التعليمي

( ملتقى التعليم العام والازهرى )