"... إن قيمة العمارة تعتمد على البصمة التي تتلقاها من الطاقة الإبداعية للانسان من جهة، ومن الصورة التي تنتجها في محكاة الطبيعية من جهة اخرى ..."، جون روسكين (1819-1900). أردت أن أبدأ بهذه المقولة لأنني مفتون بجمال الأشكال الطبيعية مع تلك الاستمرارية بين سطوحها , والذي هو الإلهام الاول لهذا البحث.

الهدف من هذا البحث هو صياغة إجراءات وانشاءات هندسية وصفية (مدعومة بتبريراتها النظرية) ، هدفها نمذجة معظم الاشكال العضوية: أي تلك التي لها خاصية الاستمرارية التماسية بين سطوحها. هذه الخاصية يريد الحصول عليها من خلال إنشاء وصلات ماسية بين اثنين أو ثلاثة أسطح دورانية. لا سيما تلك الأسطح التي تنشأ من تحول هوموثيتي للكرة. بعض الأمثلة على هذه السطوح يمكن ملاحظتها في الطبيعة ، مثل بعض تشكيلات الارض )الكثبان الرملية في الصحراء) ، وفي أشكال الكائنات الحية (النباتات والحيوانات) ، أو في بعض الأعمال المعمارية الحديثة مثل تلك لزها حديد أو تلك للحركة المعمارية الاخيرة blobtecture.ء[1]

ما هي الأدوات العملية المتوفرة لدى المعماريين لتعلم هذه التجارب الجديدة؟ أين الجامعات التي تقود بحوث هامة في هذا الصدد؟ ما هي الدروس التي ينبغي أن تعتبر أساسية وواعية للمشاركة في المنافسة الدولية؟

جمال الأشكال الطبيعية مع تلك الاستمرارية بين سطوحها كانت الإلهام الاولي لهذا البحث. أهمية الأشكال العضوية للمهندسين المعماريين والمصممين قد لعبت دورا هاما من حيث النفسية والشكلية.

هدف هذا البحث هو الحصول على هذا النوع من الأسطح عن طريق تطبيق مفاهيم الهندسة الوصفية وباستخدام أدوات الرسم الجديدة . وبشكل خاص نص اجراءات هندسية وصفية هدفها الوصول الى نمذجة اسطح ذات خاصية الاستمرارية المتماسة بين أجراءها. والتي يُرغب في تحقيقها من خلال تحديد أسطح متماسة لاثنين أو لثلاثة اسطح دورانية (ربما متدهورة : بما في ذلك حالات النقط والمستويات).

والسؤال الذي يطرح نفسه تلقائيا : ما هو سبب طرح هذا النوع من البحث, عندما يوجد الان خوارزميات رياضية تسمح بنمذجة أسطح حرة الشكل (free form) ، كما النربس (nurbes) والميتابولز (metaballes), بشكل تقريبا تلقائي ودون معرفة الكثير من مفاهيم الهندسة الوصفية. هذا البحث ، من بين مواضيع الأخرى المثيرة للاهتمام من الناحية التعليمية المتجددة ، يرغب بالإجابة على هذا السؤال من خلال عمليات تحليل هندسي (بالايطالية:sghembismo delle generatrici strutturali)، لتلك النماذج الحرة ، وما يتبعها من مشاكل إنشاءيه واقتصادية . هذة المشاكل الانشائية تنتج في اللحظة التي يريد فيها بناء تلك الاسطح الحرة على ارض الواقع. هذا البحث سينص على حلول بديلة لهذه المشاكل ، عن طريق استخدام اسطح دورانية محددة ومعروفة مثل الكرة, المخروط الدائري الاسطوانة الدائرية , النتوء المستدير (وبشكل عام تلك الاسطح الناتجة من التحول الهوموثيتي للكرات). خاصية هذا النوع من الاسطح هي انها يمكن ان تكون, في اية حالة من الأحوال, متماسة لكرات اخرى وفقاً لدوائر, التي يمكن السيطرة عليها بسهولة في عملية إنتاج القطع سابقة الصنع أو/ وفي تسهيل عملية الإنشاء. وهذه هي نقطة مهمة في هذا البحث.


صياغة مشكلة الدراسة (Problem Statement)

إمكانية الرسم في الفراغ ثلاثي الإبعاد التي تقدمها برامج النمذجة الرقمية (3D modeling) تتيح للهندسة الوصفية تطورات جديدة ، نظرية وتطبيقية . إثبات هذه الفرضية , هو بشكل عام موضوع هذا البحث , وبشكل خاص من خلال مواجهة حلول مشاكل الاستمرارية بين الأسطح الدورانية. للوصول بطريقة تدريجية إلى حل هذة المشكلة ثلاثية الأبعاد, سيبدأ البحث في معالجة مشاكل التماس في نفس المستوى, أي بين المخروطيات-conics (شاملة النقط والخطوط كحالات اسثنائية للمخروطيات-degenerate conics) .

أسئلة الدراسة (Research Questions)

مسألة التماس في نفس المستوى


هذا البحث ، كما قلنا ، سيواجة مشاكل التماس في نفس المستوى وفي الفراغ. فيما يتعلق بالمستوى, سيتم معالجة مشاكل التماس بين المخروطيات المتشابهة (homothetic) لبعضها البعض ، وبما أن النقطة والخط المستقيم تعتبر حالات خاصة للاهليج وللدائرة على حد سوا ، فإن التوافقيات بين هذه الكيانات سيكون مرتب على النحو التالي :

    *

      1 مسألة التماس بين القطع الاهليجية المتشابهة, في هذة الحالة صياغة المسألة تكون هكذا: تحديد جميع القطع الاهليجية المماسة ثلاثة قطع اهليجية متشابهة (homothetic) بين بعضهما البعض (بما في ذلك الحالات الخاصة للاهليج : النقطة الخط).
    *

      2 مسألة التماس بين الدوائر (بما في ذلك النقطة والخط). صياغة هذة المسألة : تحديد جميع الدوائر المماسة ثلاثة دوائر معطية (بما في ذلك الحالات الخاصة النقطة والخط).

كما يلاحظ في الترتيب اعلاه, لقد استبعدت المخروطيات التي لها نقط لانهائية وهي القطع المكافئ (parabola التي لها نقطة لانهائية) و القطع الزائد (iperbola التي لها نقطتان لانهائية) . سبب هذا الاستبعاد هو الحد من العدد الهائل للحالات التي سيتم تناولها ، وبالتالي القدرة على انهاء البحث في الوقت المحدد لة.


مسالة التماس بين ثلاثة دوائر

في المستوى. هناك 10 توافقيات للمعطيات الثلاثة: دائرة, خط ونقطة

التوافقيات___عدد الحلول

   1.

      ثلاثة دوائر________؟
   2.

      دائرتين وخط________؟
   3.

      دائرتين ونقطة______؟
   4.

      دائرة وخطين________؟
   5.

      دائرة وخط ونقطة__؟
   6.

      دائرة ونقطتين______؟
   7.

      ثلاثة خطوط_________؟
   8.

      خطين ونقطة_________؟
   9.

      خط ونقطتين_________؟
  10.

      ثلاثة نقط__________؟


مسالة التماس بين ثلاثة قطع اهليجية

في المستوى. هناك 10 توافقيات للمعطيات الثلاثة: دائرة, خط ونقطة. علما بأن هناك اربعة حالات متعلقة بالمخروطيات المتدهورة (Degenerate conic) (بين النقاط و/أو بين الخطوط) لم تدرج في القائمة أدناه ، نظرا لأنها وردت في القائمة أعلاه

التوافقيات____________عدد الحلول

   1.

      ثلاثة قطع اهليجية__________؟
   2.

      اهليجين وخط________________؟
   3.

      اهليجين ونقطة______________؟
   4.

      اهليج وخطين_______________؟
   5.

      اهليج وخط ونقطة_________؟
   6.

      اهليج ونقطتين____________؟


مسالة التماس في الفراغ

في الفراغ, على غرار ما قلناه سابقاً, سيتم معالجة مشاكل التماس بين الأسطح الكروية (spheroid: تشمل السطح الإهليلجي الدوراني والكرة) المتشابهة (homothetic) لبعضها البعض ، وبما أن النقطة والسطح المستوي تعتبر حالات خاصة للسطح الاهليجي والكرة على حد سوا ، فإن التوافقيات بين هذه الكيانات ستكون مرتبة على النحو التالي :

    *

      مشاكل التماس بين الاسطح الاهليجية المتشابهة (بما في ذلك النقطة والمستوى)
    *

      مشاكل التماس بين الكرات (بما في ذلك النقطة والمستوى)

في القائمة اعلاه, تم استبعاد الاسطح الثنائية الدورانية (quadric surface) التي لها نقط لانهائية وهي السطح المكافئ (Paraboloid الذي له نقطة لانهائية) والسطح الزائد ( Hyperboloid الذي له نقطتان لانهائية) . سبب هذا الاستبعاد, كما قلنا سابقاً, هو الحد من العدد الهائل للحالات التي سيتم تناولها ، وبالتالي القدرة على حل مشكلة البحث في الوقت المحدد لة.



مسالة التماس بين الكرات

المسالة في هذة الحالة تكمن في انشاء كرة مماسة ثلاثة كرات (بما في ذلك النقاط والمستويات كحالات خاصة للكرة . هناك 10 توافقيات للمعطيات الثلاثة: كرة, مستوى ونقطة. علما بأن الحالة الاخيرة (ثلاثة نقط) لم تدرج في القائمة أدناه ، نظرا لأنها وردت في قائمة سابقة.

________التوافقيات___________عدد الحلول

    *

      1 ثلاثة كرات
    *

      2 كرتين ومستوى
    *

      3 كرتين ونقطة
    *

      4 كرة وخطين
    *

      5 كرة وخط ونقطة
    *

      6 كرة ونقطتين
    *

      7 ثلاثة مستويات
    *

      8 مستويين ونقطة
    *

      9 مستوى ونقطتين

مسالة التماس بين اسطح اهليجية متشابهة

المسالة في هذة الحالة تكمن في انشاء سطح اهليجي متماس ثلاثة اسطح اهليجية متشابهة (بما في ذلك النقاط والمستويات كحالات خاصة للسطح الاهليجي . هناك 10 توافقيات للمعطيات الثلاثة: سطح اهليجي, مستوى ونقطة. علما بأن الحالة الاخيرة (ثلاثة نقط) لم تدرج في القائمة أدناه ، نظرا لأنها وردت في قائمة سابقة.

________التوافقيات___________عدد الحلول

    *

      1 ثلاثة أسطح اهليجية
    *

      2 سطحين اهليجية ومستوى
    *

      3 سطحين اهليجية ونقطة
    *

      4 سطح اهليجي وخطين
    *

      5 سطح اهليجي وخط ونقطة
    *

      6 سطح اهليجي ونقطتين

مسالة التماس بين اسطح ثنائية دورانية (quadric of revolution)

في هذه الحالة , مسالة التماس تصنف إلى مجموعتين : بالإشارة إلى المجموعة الأولى المسألة تصاغ كالتالي:

    *

      إيجاد الكرة المتماسة ثلاثة سطوح دورانية متشابهة بين بعضهما البعض ومكونة من :
          o

            ثلاثة مخاريط
          o

            ثلاثة اسطوانات
          o

            ثلاثة اسطح نتوء مستدير

السؤال المتعلق بالمجموعة الثانية يصاغ على النحو التالي :

    *

      إيجاد الكرة المتماسة سطحين مختلفة بينهما، مختارتين من بين المخاريط والأسطوانات وأسطحه النتوء المستدير. في هذه الحالة التوافقيات هي:
          o

            مخروط وأسطوانة
          o

            مخروط ونتوء مستدير
          o

            أسطوانة ونتوء مستدير


مسألة التماس بين الأسطج المخروطية يمكن ان تستخدم في تصميم سقف البناء بأسطح مستوية و/أو منحنية ذات ميلان ثابتميديا:Example.ogg

فروض الدراسة (Research Hypotheses)

فرضية وجود مكان هندسي

من الحالات العشرة التي سبق ذكرها في حالات التماس بين الدوائر, لنعتبر الحالة الاصعب وهي ان تكون معطية ثلاثة دوائر a b c. يمكن افتراض ان هناك محل هندسي d للنقط التي لها نفس البعد بالنسبة لدائرتين, مثلاً a b, وبالمثل سيكون هناك مكان هندسي آخر d بالنسبة للدوائر الأخرى ، مثلاً b c ، ومن يمكن ان نسنتتج ان نقطة التقاطع P بين الاماكن الهندسية d و e هي مركز الدائرة المماسة جميع الدوائر الثلاث المعطية.

نفس الافتراض يمكن ان يطبق أيضا على حالات المماس في الفراغ


أهمية الدراسة

هذا البحث يهدف الى تعميم مفهوم التماس, بين جميع انواع المخروطيات في نفس المستوى وبين الاسطح الثنائية الدورانية في الفراغ, هي فكرة مفيدة، لأن التاريخ علمنا أن العلم يتقدم عندما يجد قانون واحد يفسر ببساطة أكثر (في هذا البحث من خلال الإنشاءات الهندسية) ، ما كان يُوضح بقوانين رياضية عديدة. بعبارة أخرى ، العلم يتقدم عندما يُعمم. كما هو الحال في مساهمة غاسبار مونج, ان لها قيمة تعميمية، أي, يجمع في مدونة واحدة ، نظريات و إجراءات كانت أغلبيتها معروفة ولكن متمايزة من بييرو ديلا فرانشيسكا حتى فريتزير (Frézier).

أهمية هذا البحث ، تكمن في تحقيق هدفين رئيسيين :

    *

      توفير للطلاب والمهنيين دليل تقني لحل مسائل التماس المذكورة سابقاً
    *

      تزويد الباحثين بنظريات جديدة تقوم على مفاهيم الهندسة الوصفية وتطبيقاتها على الكمبيوتر

بالإضافة إلى ذلك, وبما أن برامج الكمبيوتر لا توفر إجراءات تلقائية ، لحل مسائل التماس, فأهمية هذا البحث تأتي من هذه الحاجة ، وستصبح بالتأكيد أكثر فائدة عندما يتم ترجمه نتائج و إجراءات البحث إلى لغة الكمبيوتر.

الاهتمام الذي يمكن ان يثيرة هذا البحث بشكل عام، يكمن في تداعياته الإيجابية المحتملة على البحث العلمي في مجال الهندسة الوصفية. النجاح في تحقيق التكامل بين النظريات الموروثة وتقنيات الرسم الجديدة باستخدام الكمبيوتر سيكون لة اثر فوري في تعميم حلول بعض مشاكل الهندسة الوصفية (مثل مشكلة التماس في الفضاء) من جهة, وفي اجتياز التدريس المحدود على معرفة تقنيات هذا أو ذلك البرنامج من جهة اخرى؛ لان هذا النوع من التدريس يُفرغ علم الهندسة الوصفية من محتواها النظري ، ومن ممارسة التمرين الذهني في فهم الفراغ واكتشاف ابعادة المختلفة.

حدث الكومبيوتر أعطى العلماء أداة قادرة على :

    *

      الاعراب بإيجاز عن مشاكل كان يمكن حلها بالطرق الرياضية فقط
    *

      انتاج رسوم بيانية في الفراغ ، أكثر دقة ،
    *

      انتاج صورا ذات جودة أعلى (ديناميكية ، تظليل ، تفاعل ، ... الخ)

في كثير من الأحيان بالرغم من هذا التطور التكنولوجي ، الأبحاث ، وبالتالي ، تدريس هندسة وصفية بقي متجذر في الأشكال القديمة, وهذا التعصب أدى إلى انفصام خطير بين التعليم التقليدي ، الغني بتاريخه ، وتدريس تقنيات الحاسوب، المهتمة فقط بتنفيذ أوامر البرمجيات دون أي إطار نظري . لهذا ، فإن اختيار هذا البحث ينبع من الحاجة والضرورة لتجديد الهندسة الوصفية عن طريق إدماج هذا العلم الكلاسيكي مع تقنيات الرسم الحديثة, والى وحفظ وتوسيع التراث الثقافي الموروث من القرون الماضية. والجدير بالذكر انة تم تناول هذه المشكلة في كثير من البلدان مثل الولايات المتحدة والبرازيل وحتى في الصين.


منهجية البحث (Research Method)

هنا فيما يتبع اريد ان اعطي فكرة, من خلال بعض الامثلة, عن كيف سيتم اختبار الفروض وتنفيذ عمليات البحث والتحليل وبأية وسيلة.

منهجية البحث سوف تعتمد على مبادئ ومفاهيم الهندسة الوصفية وتطبيقاتها باستخدام برامج الكومبيوتر ثلاثية الأبعاد ، وخصوصا أوتوكاد. وبعبارة أخرى ، سيتم, من خلال الإنشاءات الهندسية في الفراغ الافتراضي, تطبيق المفاهيم النظرية ((تقابل -Bijection: تناظر-prospettivita ، تناظر عكسي, تماثل -homology, تحويل أفيني-Affine transformation , هوموثيتي والتفاف- Involution) بهدف حل مسائل التماس في المستوى وفي الفراغ.

إذا اعتبرنا حقيقة أن الكمبيوتر يطبق نفس الدقة في رسم الخطوط المستقيمة والدوائر ، مثل تلك لأي منحنى أخر ، وهذا يعني أنة يمكن استخدام, في الإنشاءات الهندسية, ليس فقط الخط المستقيم والدائرة , بل أيضاً المخروطيات وغيرها من المنحنيات ثنائية وثلاثية الأبعاد ، لحل المشاكل الهندسية وتبريرها نظريا. وعلاوة على ذلك ، وبما أن الرسم ينفذ أيضاً في الفراغ ، فيمكن استخدام أيضاً, من بين الكيانات الهندسية المستخدمة في الإنشاء، السطوح ثلاثية الأبعاد.

    *

      مثلاً في الإنشاءات المستوية ، دائرتين لهما مركزين في نقاط نهاية مستقيم AB ونصف قطر = نفس المستقيم , يتقاطعان في نقطتان لخط عمودي على AB. في الفراغ كرتان لهما مركزين في نقاط نهاية مستقيم AB ونصف قطر = نفس المستقيم , يتقاطعان في دائرة لمستوى عمودي على AB . انه مثال بسيط ، إلا أنه يشير إلى إمكانية استخدام هذه الأداة.
    *

      مثال اخر: لإنشاء مستويين لهما خط مشترك a ومتماسين كرة K, الحل لهذه المشكلة يتمثل في إنشاء مستوى α يمر بمركز K وعمودي على الخط a: المستوى α يقطع K بدائرة كبرى والخط a بنقطة P . الخطين المارين بالنقطة P ومتماسين K يحددان مع الخط a المستويين المتماسين K.

أي شخص يهتم بالهندسة الوصفية يعلم أن هذا العلم يعلمنا أن نعمل في الفراغ من خلال انشاءات هندسية تنفذ على نفس السطح ( سطح الإسقاط) . وكما قال مونج نفسه : إن الغرض الأول من الهندسة الوصفية هو تمثيل بدقة ، من خلال رسومات ببعدين فقط ، كيانات ثلاثية الإبعاد. [2] كذلك ، الكمبيوتر ، يتيح الفرصة لإتباع طريق أقصر ، تتألف بتمثيل كيانات ثلاثية الإبعاد ، في فراغ افتراضي. بالطبع هذا لا يجعل هذه العملية تلقائية ، ولكن يعطيها وضوح اكبر. أي, عند تمثيل, مثلاُ ، الإثناعشري السطوح K ، في طريقة الإسقاطات المتعامدة (Metodo di Monge)، فإننا نتبع ، بشكل عام ، العملية التالية: (شكل --). 1- نختار, من الطرق العديدة الممكنة, المسار الذي سيتبع في التمثيل ، مثلاً ، يمكننا استخدام الخصائص الهندسية, لهذا المتعدد السطوح, لتحديد ارتفاعات رؤوس K , في الحالة التي يكون فيها واحدة من أوجهة K, تنتمي إلى مستوى أفقي 1π. أو نبدأ بعملية تَبْسيط (unfolding) اوجهة K على المستوى الأفقي 1π , وبعد ذلك بعملية عكسية لأعادة إغلاق K. هذه العملية تتم باستخدام الرسومات الإسقاطية التي تسمح، كما قلنا، بالعمل في الفراغ الخيالي من خلال إنشاءات هندسية مسطحة (على نفس السطح). أما ، إذا أردنا أن نمثل الثنعشري السطوح K في الفراغ الافتراضي (virtual space) للكمبيوتر ، يجب أن تتبع بالضبط نفس العملية ، مع فارق واحد ، يتعلق بالمرحلة الثانية : هنا العملية يمكن أن تنفذ مباشرة في الفراغ ، دون الحاجة إلى الإسقاطات. عند انتهاء هذه العملية, التي هي مهمه من حيث دقة النتيجة. يمكننا أن نطلب من جهاز الكوميوتر أي عملية تمثيل إسقاطية للجسم K ، والتي هي عملية تلقائية (الشكل 2).


التعريف بمصطلحات البحث (Definition of the Concepts)

الاستمرارية

استمرارية الأشكال الهندسية ، التي فسرها أرخميدس في العصور القديمة وفي الآونة الأخيرة من قبل ددكيند-(Dedekind :عالم رياضيات ألماني ، 1831 -- 1916) ، على انها مستمدة من حاسة اللمس . سطح هندسي يعتبر مستمر ، عندما نقاطة تملأ جزء من الفراغ دون انقطاع, وكما قال عالم الرياضيات ليونهارد اويلر في القرن الثامن عشر ، يمكن تحديد استمرارية منحنى في إمكانية القدرة على رسمه دون رفع القلم عن الورقة ، وهذا ينطبق ايضاً على السطح المنحني، وهذا يعني أننا نستطيع تمرير اليد علية دون انقطاع ودون مقابلة ثقوب او حواف. [3]

المخروطيات المتدهورة

المخروطيات المتدهورة (النقطة والخط) هي حلات خاصة للقطع المخروطية والتي نحصل عليها بالتوالي: :

    *

      عندما نقطع مخروط ثنائي السطح K بمستوى α يمر برأس V للمخروط وموازي لمستوى قاعدة K
    *

      عندما يمر α بالرأس V وبراسم سطح K .


محل هندسي

في الهندسة الوصفية، يطلق اسم المحل الهندسي (بالإنجليزية: locus) على مجموعة النقاط التي تشترك بخاصية معينة. على سبيل المثال:

    *

      الدائرة هي المحل الهندسي للنقاط المتساوية البعد عن نقطة مركز الدائرة.
    *

      الخط المنصف زاوية مستوية: المحل الهندسي للنقط التي لها نفس البعد بالنسبة للخطين المكونان تلك الزاوية, أو المحل الهندسي لمراكز الدوائر المماسة هذة الخطوط.

سطح دوراني

السطح الدوراني (Surface of revolution) ينشأ من دوران خط g (مستقيم أو منحني) حول خط مستقيم ثابت a , في هذة الحالة نطلق على الخط المتحرك g راسم السطح وعلى a محور الدوران. يجب الأخذ بعين الاعتبار ان معظم أنواع السطوح الدورانية تنتج في حالة انتماء الخطوط g a إلى نفس المستوى (complanari)

    *

      المنحني الذي يحصل علية كنتيجة لتقاطع السطح الدوراني بسطح عمودي على محور الدوران، يسمى منحني موازي(Parallel)
    *

      المنحني الذي يحصل علية كنتيجة لتقاطع السطح الدوراني بسطح يمر بمحور الدوران، يسمى منحنى الطول (Longitude)

حسب طبيعية راسم السطح g (مستقيم أو منحني), ستنتج السطوح التالية:

    *

      1- في الحالة التي يكون فيها g خط مستقيم (conica degenere), السطح الدوراني الناتج هو:
          o

            - مخروط عندما g يتقاطع مع a في نقطة V حقيقية
          o

            - اسطوانة عندما g يتقاطع مع a في نقطة V∞ خيالية
    *

      2- في الحالة التي يكون فيها g منحنى, السطح الناتج هو:

- سطح ثنائي دوراني, عندما تكون g مقطع مخروطي (اهليج, قطع مكافئ, قطع زائد) - سطح دوراني عام, عندما تكون g اي نوع من المنحنيات التي لم يسبق ذكرها.

مصطلحات قيد الترجمة والتعريف

    *

      مصطلحات تقابل وتناظر:la Corrispondenza biunivoca, quali prospettività, omologia, omologia inversa, Affinità prospettiva,

affinità, omotetia, Omotetia inversa ed Involuzione

    *

      مصطلحات أسطح:Approssimazione poliedrica di una superficie curva, Raccordo tangenziale , quadriche di rotazione, superfici toriche, superficie nurbes, metaballes
    *

      مصطلحات منحنيات:quartica, spline
    *

      مصطلحات اخرى: normale a una superficie, modellazione geometrica

سطح كروي

السطح الكروي (Spheroid) هو سطح دوراني, يتولد عندما راسم السطح يكون إهليج (بما فيه الدائرة كحالة خاصة للاهليج) ومحور الدوران هو واحد من محاور نفس الاهليج .

هناك ثلاثة أنواع من الأسطح الكروية :

    *

      كروي متطاول (مماثل لشكل كرة الرغبي), إذا كان الراسم إهليج ومحور الدوران هو المحور الأكبر لنفس الإهليج.
    *

      كروي مفلطح (مماثل لشكل كوكب الأرض), إذا كان الراسم هو المحور الاصغر للاهليج.
    *

      كرة, إذا كان الراسم نصف دائرة .

الدراسات السابقة-Review of Related Literature

علماء الرياضيات لم يتمكنوا لفترة طويلة من حل مسألة ابولونيوس (عالم هندسة رياضية وفلكي 262–190 ق.م). والتي تنص على ما يلي: في المستوى , اعطيت ثلاثة دوائر, بما في ذلك الحالات المتدهورة، أي يمكن ان تكون مختارة من بين النقاط والخطوط والدوائر ، ومطلوب إنشاء جميع الدوائر التي تمس الكيانات المعطية. الجدير بالذكر أن هذا البحث يرغب في حل ليس فقط مسألة ابولونيوس التي تشمل فقط الدوائر, بل ايضاً مسألة التماس بين جميع أنواع المخروطيات المنتمية لنفس المستوى كمرحلة أولى ومن ثم حل مسألة التماس بين الاسطح الدورانية التي ستكون الخطوة النهائية لنمذجة الاسطح العضوية.

مسألة أبولونيوس

مسألة أبولونيوس يمكن ان تكون مضروحة على المستوى او في الفراغ. في المستوى , اعطيت ثلاثة دوائر, بما في ذلك الحالات المتدهورة، أي يمكن ان تكون مختارة من بين النقاط والخطوط والدوائر ، ومطلوب انشاء دائرة تمس الثلاث كيانات المعطية . في الفراغ أعطيت أربعة كرات ، بما في ذلك الحالات المتدهورة، أي يمكن ان تكون مختارة من بين ، النقاط والمستويات والكرات ونريد انشاء الكرة المتماسة الأربعة كيانات المعطية.

تاريخ

مشكلة أبولونيوس الشهيرة ": اعطيت ثلاث دوائر ، وربما متدهورة ، إيجاد جميع الدوائر المتماسة الدوائر المعطية. الدوائر المتدهورة تعني تلك التي نصف قطرها صفر (نقطة) او لانهائي (الخط المستقيم)

في حالة الثلاث نقاط أو الثلاثة خطوط ، المشكلة اقترحت وحلت من قبل اقليدس (الكتاب الثالث من العناصر 1570). أبولونيوس اقترح المشكلة بشكل عام لتشمل ايضاً الدوائر. أبولونيوس ، بالاضافة الى كتابة عن المخروطيات (conics) هناك العديد من الكتب الأخرى ، من بينها كتاب عن المماس (tangent)، ولكنة للأسف فقد، ويمكننا جزئيا إعادة محتوياته من خلال كتب بابو(Pappus).

صعوبة المشكلة جعلت الكثير من المحاولات تلوذ بالفشل, حتى القرن السادس عشر ، واعتقد الرياضيين ان أبولونيوس لم يحل المشكلة التي اعتبرها الكثيرون تحديا حقيقيا لقدراتهم.

الرياضيين العرب ، وخصوصا إبراهيم بن سنان (909-946) وابن الهيثم (965-1041) وجدوا حلا جبريا لهذة المسالة. في القرن السادس عشر جيركونة (Johannes Müller von Königsberg) حاول إيجاد حل لها عن طريق المقاطع المخروطية. في وقت لاحق بحوث هامة ، شملت إنشاءات بالمسطرة والفرجار, مثل عمل فييت (أبولونيوس جالوس ، باريس ( 1600 وعمل ب فيرمات (De contactibus sphaericis (1679 ), نيوتن (Philosophiae naturalis principia mathematica, London, 1687)) والكثير غيرهم من الرياضيين : ليونهارد أويلر ، سيميون دينيس بويسون ، فوس (N.Fuss) ، غاسبر مونج ،. جاك فيليب ماري بينيه (J.Binet),هاشيت (P.Hachette) ، غوتييه (L.Gaultier), بونسيليه (J.V.Poncelet), جوزيف دياز گرگون Gergonne , شتاينر (J.Steiner). مناقشة مثيرة للاهتمام في معالجة بعض الحالات وجدت في رسائل بعثها ديكارت في نوفمبر 1643 الى تلميذته المفضلة ، الأميرة اليزابيث ، ابنة الملك فريدريك بوهيميا. دراسات بشأن هذه القضية أثارت الكثير من الأبحاث والاكتشافات في علم الهندسة الوصفية والرياضية على حد سواء.

تعليق

علماء الرياضيات لم يتمكنوا لفترة طويلة من حل مسألة ابولونيوس (عالم هندسة رياضية وفلكي 262–190 ق.م). والتي تنص على ما يلي: في المستوى , اعطيت ثلاثة دوائر, بما في ذلك الحالات المتدهورة، أي يمكن ان تكون مختارة من بين النقاط والخطوط والدوائر ، ومطلوب إنشاء جميع الدوائر التي تمس الكيانات المعطية. الجدير بالذكر أن هذا البحث يرغب في حل ليس فقط مسألة ابولونيوس التي تشمل فقط الدوائر, بل ايضاً مسألة التماس بين جميع أنواع المخروطيات المنتمية لنفس المستوى كمرحلة أولى ومن ثم حل مسألة التماس بين الاسطح الدورانية التي ستكون الخطوة النهائية لنمذجة الاسطح العضوية.