إحصاء وصفي

الإحصاء الوصفي مجموعة طرائق لوصف الخصائص الرئيسية لمجموعة بيانات كمياً باستخدام الجداول والمخططات البيانية. يشكل الإحصاء الوصفي مع الإحصاء الاستدلالي قسمي علم الإحصاء. وبخلاف الإحصاء الاستدلالي لا تُستخدَم في الإحصاء الوصفي الطرائق الاحتمالية من أجل تعميم النتائج على الجمهرة.

الإحصاء الوصفي يهدف إلى وصف مجموعة من البيانات وتنظيمها وتصنيفها وتلخيصها وعرضها بطريقة واضحة في صورة جداول أو أشكال بيانية وحساب المقاييس الإحصائية المختلفة لوصف متغير ما (أو أكثر) في مجتمع ما.

طرائق اختزال البيانات

يمكن استخدام الكثير من الإحصائيات إما وصفياً أو كجزء من التحليل الاستدلالي. عندما نجري اختباراً لفرضية على النتائج، فهذا تحليل استدلالي. ومن أشيع طرائق اختزال البيانات المستخدمة في الإحصاء الوصفي:

مقاييس النزعة المركزية

مقاييس التشتت

الجداول

المخططات البيانية

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

مقاييس النزعة المركزية

مقاييس النزعة المركزية هي المقاييس التي تحاول أن تصف نقطة تجمع المشاهدات، وتعود فكرتها إلى الباحث الإنجليزي فرانسيس جالتون. هذه المقاييس هي المتوسط الحسابي ،الوسيط الحسابي، والمنوال.

المتوسط الحسابي

خواص الوسط الحسابي:

يعتمد على جميع القيم والمشاهدات

هو نقطة اتزان المشاهدتان

مربع الانحرافات اقل ما يمكن عن الوسط

اقل مقاييس النزعة المركزية تأثرا بالتقلبات العينية

يتأثر بالقيم المتطرفة والقيم الشاذة لذا لا يصلح للتوزيعات الملتوية

لا يصلح في حالة الفئات المفتوحة (لعدم وجود مركز فئة)

مجموع انحرافات القيم عن المتوسط الحسابي يساوي صفر.

الوسيط

خواص الوسيط:

لا يتأثر بالقيم المتطرفة

يستخدم في التوزيعات الملتوية

يفضل استخدامه في حالة الفئات المفتوحة

يأتي بعد الوسط في تأثره بالتقلبات العينية

المنوال

خواص المنوال:

غير ثابت

يتأثر بطول الفئة

يفضل عندما يكون المقياس اسمي

لا يعتمد عليه في حالة الإحصاءات اللاحقة

متوسط حسابي

(بالتحويل من وسط حسابي)

المتوسط الحسابي، أو الوسط الحسابي، وأحياناً المعدّل (بالإنكليزية: arithmetic mean) في الرياضيات والإحصاء هو قيمة تتجمع حولها قيم مجموعة ويمكن من خلالها الحكم على بقية قيم المجموعة، فتكون هذه القيمة هي الوسط الحسابي.

مقدمة

رياضياً، يحسب الوسط الحسابي بجمع قيم عناصر المجموعة المراد إيجاد وسطها، ويقسم المجموع على عدد العناصر. على سبيل المثال، لنفرض بأن لدينا العينة التالية \operatorname {X} = (x_1, \ldots, x_n) ، حيث ان n  هو حجم العينة، فالوسط الحسابي \bar{x} لهذه للعينة هو:

\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i  =  \frac{1}{n} (x_1+\cdots+x_n).

أمّا للتنويه إلى معدّل مجموعة كاملة، يستخدم عادة الحرف الإغريقي "مو" \mu. ويستخدم نفس الحرف عادة للإشارة إلى القيمة المتوقعة أو المعدل الاحتمالي لمتغير عشوائي ما. فمثلاً، إذا كانت العيّنة X هي عبارة عن مجموعة أعداد عشوائية ذات معدل احتمالي مساوٍ لـ\mu، فإنّ لكل عدد من العيّنة، x_{i} قيمة متوقعة تساوي \mathbb{E}\left[x_{i}\right] = \mu.

في الواقع، فهنالك اختلاف هام بين \mu و\bar{x}، فالأوّل يشير إلى معدّل المجموعة كلّها (على سبيل المثال، معدّل أعمار جميع السكّان في دولة ما)، في حين أنّه على أرض الواقع يكون بحوزتنا، على العموم، عيّنة جزئية من المجموعة الكاملة نستطيع حساب معدّلها، وهذا الذي يشار إليه بواسطة الثاني. وبما أنّ العيّنة التي نحصل عليها غالبًا ما تكون عشوائيّة، تكون القيمة \bar{x} هي نفسها متغيّرًا عشوائيًا ذات توزيع احتمالي ما.

بالإضافة إلى ذلك، فإذا كان X هو متغيّرًا عشوائيًا نأخذ منه عيّنة تلو الأخرى، فإنّ المعدّل الحسابي يتقارب نحو نهاية هي القيمة المتوقّعة لكل عيّنة (أي \mu). هذا الأمر صحيح بموجب قانون الأعداد الكبيرة. بما معناه أنّه بالإمكان استخدام المتوسط الحسابي للعيّنات كمقدّر للقيمة المتوقّعة الحقيقية للمتغير العشوائي.

ليس المتوسط الحسابي هو الوحيد المستخدم، فهنالك المتوسط الهندسي والمتوسط التوافقي، وعدد من المتوسطات التي تعطي ترجيحًا مختلفًا لكل عيّنة.

خواص المعدّل الحسابي

المعدّل الحسابي، \bar{x}، يقع بين أكبر وأصغر عددين في المجموعة التي حسب منها المعدّل. كذلك، فإنّ مجموع أبعاد المعدّل عن الأعداد في المجموعة يساوي صفرًا.

يكون المتوسط الحسابي محصورًا دائمًا بين أكبر وأصغر عدد في العيّنة. بل وأكثر من ذلك - إنّ المتوسط الحسابي لمجموعة أعداد \operatorname {X} = (x_1, \ldots, x_n)  هو النقطة على محور الأعداد التي مجموع أبعادها عن كل نقطة في المجموعة يساوي صفر.

إنّ المتوسط الحسابي ليس معلومة إحصائية قويّة، بمعنى أنّه حسّاسٌ جدًا لوجود أيّة عيّنات شاذّة، كتلك التي تبعد بعدًا كبيرًا عن معظم العيّنات - كلّما كانت العيّنة الشاذة أبعد، كان تأثيرها أكبر . كما يعاب على المتوسط الحسابي أن قيمته قد لا تنتمي إلى مجموعة العينات فقيمة المتوسط مثلاُ قد تكون عدد نسبي بينما العينات أعداد صحيحة . مفهوم إحصائي آخر يشبه المتوسط الحسابي ولكنه أقوى منه هو الوسيط، وهو مساوٍ لقيمة العيّنة الموجودة بالضبط في منتصف مجموعة العيّنات إذا ما قمنا بترتيبها بشكل تصاعدي. بهذا الشكل، فإنّ وجود عيّنة شاذّة سيتسبّب فقط في تغيير بسيط في قيمة العيّنة الموجودة في الوسط.

يستعمل حساب المعدّل كثيرًا للتغلّب على ضجيج في أنظمة معيّنة، خاصة تلك الإلكترونيّة المصحوبة بضوضاء بشتّى الترددات. على سبيل المثال، إذا أردنا تصوير صورة معيّنة، ولكنّ كل صورة نحصل عليها تكون مصحوبة بضوضاء بيضاء، فبالإمكان التغلّب على هذه الضوضاء بواسطة أخذ سلسلة من الصور لنفس المشهد. فلكل عنصورة، يتم حساب القيمة المعدلة للعنصورة بواسطة حساب المتوسط الحسابي للقيم التي حصلت عليها العنصورة في كل صورة. ولأنّ الضوضاء بيضاء (ذات قيمة متوقّعة تساوي صفرًا)، فإنّ عملية المتوسط الحسابي ستخفّف من تأثيرها. بما معناه، أنّه بالإمكان اعتبار عملية المتوسط الحسابي كأنّها ضرب من مرشحات الترددات المنخفضة.

في أية عينة ,مجموع انحرافات القيم عن الوسط الحسابي للعينة يساوي صفرا، مثال مجموع انحرافات القيم1,3,5,7,9 عن وسطها الحسابي هو : الوسط الحسابي =(1+3+5+7+9)/5=5إذا

(1-5)+(3-5) +(5-5)+(7-5)+(9-5)= -4+(-2)+0+2+4=0

أمثلة

إذا كانت لديك ثلاثة أرقام، فمن أجل حساب المتوسط الحسابي، تقوم بالعملية التالية: \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3} 

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

وسيط (إحصاء)

(بالتحويل من وسيط حسابي)

في الرياضيات وفي علم الإحصاء، الوسيط أو الوسط (بالإنكليزية: Median) هو الرقم الذي يفصل النصف الأعلى من العينة أو المجتمع عن النصف الأقل بحيث يتساوى على طرفه عدد القيم بعد ترتيبها تصاعدياً.

فإذا كان عدد هذه القيم فردياً فالوسيط هو الرقم النصفي الذي يقسم هذه القيم،

أما إذا كان عدد القيم زوجياً فالوسيط هو الوسط الحسابي لمجموع الرقمين الوسيطيين.

مثال: إذا كانت العينة: 1 3 4 6 8 فالوسيط هو الرقم 4

مثال 2 : إذا كانت العينة : 1 2 3 4 5 6 7 فالوسيط هو الرقم 4

مثال: إذا كانت العينة 1 3 4 5 7 9 فالوسيط يساوي \frac{4 + 5 }{2} 

مثال 2 : إذا كانت العينة 1 2 3 4 5 6 فالوسيط يساوي \frac{3 + 4 }{2} 

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

منوال

المنوال (بالإنجليزية: Mode) في الإحصاء هو القيمة الأكثر تكراراً في مجموعة من البيانات، أو في فضاء احتمالي.

استخدام المنوال

1) في المشاهدات المفردة، حيث المنوال هو القيمة المقابلة لأكبر تكرار.

2) في الجداول والفئات(الجداول التكرارية)، حيث المنوال هو مركز الفئة المنوالية (الأكثر تكراراً)..

أمثلة

أ- لو فرضنا أن لدينا الأعداد (1,5,2,1,4,7)المنوال في هذه الحالة = 1 لأنه الأكثر تكرارا لذلك

ب- لو فرضنا أن لدينا جدول يبين فئات وأسفلها التكرارات, نرى أي الفئات أكثر تكرارا ولنفرض أنها الفئة من(2-4)ونحسب مركز الفئة=(2+4)/2 ،#المنوال = 3

وقد يكون احادي المنوال إذا كان له منوال واحد، وفي أحيان أخرى قد يكون هناك منوالين يحب ان تجمع العددين و تقسمهم على 2.

لا يشترط أن يكون في الفضاء الاحتمالي منوال .

مثال :

1,2,4,5

في هذه افضاء لا يوجد منوال .

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ